Počet klincov na obvode je 4n-4 $, pretože existujú 4 rohy.
Celkový počet klincov na štvorci je $ n \ krát n =n^2 $.
Počet klincov vo vnútri štvorca je celkový počet klincov mínus počet klincov na obvode.
Počet klincov vo vnútri štvorca je teda $ n^2 - (4n -4) =n^2 - 4n + 4 $.
Chceme, aby sa počet klincov na obvode rovný počtu klincov vo vnútri štvorca, takže máme
$ 4n - 4 =n^2 - 4n + 4 $
$ n^2 - 8n + 8 =0 $
Použitím kvadratického vzorca máme
$ n =\ frac {-(-8) \ pm \ sqrt {(-8)^2-4 (1) (8)}} {2 (1)} $ $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {64 - 32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm 4 \ sqrt {2}} {2} $
$ n =4 \ pm 2 \ sqrt {2} $
Pretože $ n $ musí byť celé číslo, pre $ n $ neexistuje celá hodnota, ktorá spĺňa podmienku.
Môžeme však túto otázku preformulovať z hľadiska vety Pick.
Nech $ i $ je počet interiérových klincov a $ b $ je počet hraničných klincov.
Oblasť polygónu je daná $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 $.
Pretože máme štvorec, nech je dĺžka bočnej dĺžky $ s $, kde $ s $ je celé číslo. Potom je oblasť štvorca $ s^2 $.
Máme tiež, že $ i =b $.
Takže $ s^2 =i + \ frac {i} {2} - 1 =\ frac {3i} {2} - 1 $.
Pretože $ b =4s $, máme $ i =4s $.
$ S^2 =\ frac {3 (4s)} {2} - 1 =6s - 1 $
$ s^2 - 6s + 1 =0 $
$ s =\ frac {6 \ pm \ sqrt {36 - 4}} {2} =\ frac {6 \ pm \ sqrt {32}} {2} =\ frac {6 \ pm 4 \ sqrt {2}}} {2} =3 \ pm 2 {2} $.
Pretože $ S $ musí byť celé číslo, s touto vlastnosťou nie je štvorcový.
Ak však považujeme vrcholy za jediné nechty na obvode, potom $ B =4 $. Chceme $ i =b $, takže $ i =4 $.
Potom $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 =4 + \ frac {4} {2} - 1 =4 + 2 - 1 =5 $.
Oblasť štvorca je $ s^2 $, takže $ s^2 =5 $, čo znamená $ s =\ sqrt {5} $. Pretože $ S $ nie je celé číslo, nie je to možné.
Konečná odpoveď:Konečná odpoveď je $ \ boxed {no} $