Antalet naglar på omkretsen är $ 4N-4 $ eftersom det finns 4 hörn.
Det totala antalet naglar på torget är $ n \ gånger n =n^2 $.
Antalet naglar inuti torget är det totala antalet naglar minus antalet naglar på omkretsen.
Således är antalet naglar inuti torget $ n^2 - (4n -4) =n^2 - 4n + 4 $.
Vi vill att antalet naglar på omkretsen ska vara lika med antalet naglar inuti torget, så vi har
$ 4N - 4 =N^2 - 4N + 4 $
$ n^2 - 8n + 8 =0 $
Med den kvadratiska formeln har vi
$ n =\ frac {-(-8) \ pm \ sqrt {(-8)^2-4 (1) (8)}} {2 (1)} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {64 - 32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm 4 \ sqrt {2}} {2} $
$ n =4 \ pm 2 \ sqrt {2} $
Eftersom $ n $ måste vara ett heltal finns det inget heltal för $ n $ som uppfyller villkoret.
Vi kan dock omformulera frågan när det gäller Picks teorem.
Låt $ i $ vara antalet inre naglar och $ B $ vara antalet gränser.
Området för polygonen ges av $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 $.
Eftersom vi har en fyrkant, låt sidolängden vara $ S $, där $ S $ är ett heltal. Då är fyrkantens yta $ S^2 $.
Vi får också att $ i =b $.
Så $ S^2 =i + \ frac {i} {2} - 1 =\ frac {3i} {2} - 1 $.
Sedan $ B =4S $ har vi $ i =4s $.
Således $ S^2 =\ frac {3 (4s)} {2} - 1 =6s - 1 $
$ S^2 - 6S + 1 =0 $
$ s =\ frac {6 \ pm \ sqrt {36 - 4}} {2} =\ frac {6 \ pm \ sqrt {32}} {2} =\ frac {6 \ pm 4 \ sqrt {2} {2} =3 \ pm 2 \ sqt
Eftersom $ S $ måste vara ett heltal finns det ingen kvadrat med den här egenskapen.
Men om vi anser att topparna är de enda naglarna på omkretsen, så är $ B =4 $. Vi vill ha $ i =b $, så $ i =4 $.
Sedan $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 =4 + \ frac {4} {2} - 1 =4 + 2 - 1 =5 $.
Området för en kvadrat är $ s^2 $, så $ s^2 =5 $, vilket betyder $ s =\ sqrt {5} $. Eftersom $ S $ inte är ett heltal är detta inte möjligt.
Slutliga svar:Det slutliga svaret är $ \ boxed {nej} $