Het aantal nagels op de omtrek is $ 4N-4 $ omdat er 4 hoeken zijn.
Het totale aantal nagels op het vierkant is $ n \ maal n =n^2 $.
Het aantal nagels in het vierkant is het totale aantal nagels minus het aantal nagels op de omtrek.
Het aantal nagels in het vierkant is dus $ n^2 - (4n -4) =n^2 - 4n + 4 $.
We willen dat het aantal nagels op de perimeter gelijk is aan het aantal nagels in het vierkant, dus we hebben
$ 4n - 4 =n^2 - 4n + 4 $
$ n^2 - 8n + 8 =0 $
Met behulp van de kwadratische formule hebben we
$ n =\ frac {-(-8) \ pm \ sqrt {(-8)^2-4 (1) (8)}} {2 (1)} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {64 - 32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm 4 \ sqrt {2}} {2} $
$ n =4 \ pm 2 \ sqrt {2} $
Aangezien $ n $ een geheel getal moet zijn, is er geen gehele waarde voor $ n $ dat voldoet aan de voorwaarde.
We kunnen de vraag echter herformuleren in termen van de stelling van Pick.
Laat $ i $ het aantal interieurnagels zijn en $ B $ het aantal grensnagels zijn.
Het gebied van de polygoon wordt gegeven door $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 $.
Omdat we een vierkant hebben, laat de zijlengte $ s $ zijn, waarbij $ s $ een geheel getal is. Dan is het gebied van het plein $ s^2 $.
Ook krijgen we dat $ i =b $.
Dus, $ s^2 =i + \ frac {i} {2} - 1 =\ frac {3i} {2} - 1 $.
Sinds $ b =4s $ hebben we $ i =4s $.
Dus $ s^2 =\ frac {3 (4s)} {2} - 1 =6s - 1 $
$ s^2 - 6s + 1 =0 $
$ s =\ frac {6 \ pm \ sqrt {36 - 4}} {2} =\ frac {6 \ pm \ sqrt {32}}} {2} =\ frac {6 \ pm 4 \ sqrt {2}}} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} =3 \ pm 2 \ sqrt {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} =3} {2} {2} {2} {2} {2})
Aangezien $ s $ een geheel getal moet zijn, is er geen vierkant met deze eigenschap.
Als we de hoekpunten echter als de enige nagels op de perimeter beschouwen, dan $ B =4 $. We willen $ i =b $, dus $ i =4 $.
Vervolgens $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 =4 + \ frac {4} {2} - 1 =4 + 2 - 1 =5 $.
Het gebied van een vierkant is $ s^2 $, dus $ s^2 =5 $, wat betekent $ s =\ sqrt {5} $. Omdat $ s $ geen geheel getal is, is dit niet mogelijk.
Eind antwoord:het uiteindelijke antwoord is $ \ boxed {no} $