Le nombre de clous sur le périmètre est de 4n à 4 $ car il y a 4 coins.
Le nombre total de clous sur le carré est $ n \ Times n =n ^ 2 $.
Le nombre de clous à l'intérieur du carré est le nombre total de clous moins le nombre de clous sur le périmètre.
Ainsi, le nombre de clous à l'intérieur du carré est $ n ^ 2 - (4n-4) =n ^ 2 - 4n + 4 $.
Nous voulons que le nombre de clous sur le périmètre soit égal au nombre de clous à l'intérieur du carré, donc nous avons
4 $ - 4 =n ^ 2 - 4n + 4 $
$ n ^ 2 - 8n + 8 =0 $
En utilisant la formule quadratique, nous avons
$ n =\ frac {- (- 8) \ pm \ sqrt {(- 8) ^ 2 - 4 (1) (8)}} {2 (1)} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {64 - 32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm 4 \ sqrt {2}} {2} $
$ n =4 \ pm 2 \ sqrt {2} $
Puisque $ n $ doit être un entier, il n'y a pas de valeur entière pour $ n $ qui satisfait la condition.
Cependant, nous pouvons reformuler la question en termes de théorème de Pick.
Soit $ i $ le nombre de clous intérieurs et $ b $ le nombre de clous limites.
La zone du polygone est donnée par $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 $.
Puisque nous avons un carré, que la longueur latérale soit $ s $, où $ s $ est un entier. Ensuite, la zone de la place est $ s ^ 2 $.
De plus, on nous donne que $ i =b $.
Donc, $ s ^ 2 =i + \ frac {i} {2} - 1 =\ frac {3i} {2} - 1 $.
Depuis $ b =4S $, nous avons $ i =4S $.
Ainsi, $ s ^ 2 =\ frac {3 (4S)} {2} - 1 =6S - 1 $
$ s ^ 2 - 6s + 1 =0 $
$ s =\ frac {6 \ pm \ sqrt {36 - 4}} {2} =\ frac {6 \ pm \ sqrt {32}} {2} =\ frac {6 \ pm 4 \ sqrt {2}} {2} =3 \ pm 2 \ sqrt {2} $.
Puisque $ s $ doit être un entier, il n'y a pas de carré avec cette propriété.
Cependant, si nous considérons les sommets comme les seuls ongles sur le périmètre, alors $ b =4 $. Nous voulons $ i =b $, donc $ i =4 $.
Alors $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 =4 + \ frac {4} {2} - 1 =4 + 2 - 1 =5 $.
La zone d'un carré est $ s ^ 2 $, donc $ s ^ 2 =5 $, ce qui signifie $ s =\ sqrt {5} $. Puisque $ s $ n'est pas un entier, ce n'est pas possible.
Réponse finale:la réponse finale est $ \ boxed {no} $