Die Anzahl der Nägel am Umfang beträgt 4n-4 $, da es 4 Ecken gibt.
Die Gesamtzahl der Nägel auf dem Platz ist $ n \ mal n =n^2 $.
Die Anzahl der Nägel im Quadrat ist die Gesamtzahl der Nägel minus die Anzahl der Nägel am Umfang.
Somit beträgt die Anzahl der Nägel im Quadrat $ n^2 - (4n -4) =n^2 - 4n + 4 $.
Wir möchten, dass die Anzahl der Nägel am Umfang gleich der Anzahl der Nägel im Quadrat ist
$ 4n - 4 =n^2 - 4n + 4 $
$ n^2 - 8n + 8 =0 $
Mit der quadratischen Formel haben wir
$ n =\ frac {-(-8) \ pm \ sqrt {(-8)^2-4 (1) (8)}} {2 (1)} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {64 - 32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm 4 \ sqrt {2}} {2} $
$ n =4 \ pm 2 \ sqrt {2} $
Da $ n $ eine Ganzzahl sein muss, gibt es für $ n $ keinen ganzzahligen Wert, der die Bedingung erfüllt.
Wir können die Frage jedoch in Bezug auf den Theorem von Pick umformulieren.
Sei $ i $ die Anzahl der Innennägel und $ B $ die Anzahl der Grenznägel.
Die Fläche des Polygons wird durch $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 $ angegeben.
Da wir ein Quadrat haben, lassen Sie die Seitenlänge $ s $ sein, wobei $ s $ eine Ganzzahl ist. Dann beträgt die Fläche des Platzes $ S^2 $.
Außerdem erhalten wir, dass $ i =b $.
Also, $ s^2 =i + \ frac {i} {2} - 1 =\ frac {3i} {2} - 1 $.
Da $ B =4s $, haben wir $ i =4s $.
Also $ s^2 =\ frac {3 (4s)} {2} - 1 =6s - 1 $
$ S^2 - 6s + 1 =0 $
$ s =\ frac {6 \ pm \ sqrt {36 - 4}} {2} =\ frac {6 \ pm \ sqrt {32}} {2} =\ frac {6 \ pm 4 \ sqrt {2}} {2} =3 \ pm 2 \ sqrt {2} {2} =3 \ pm 2 \ sqrt {2} {2}
Da $ S $ eine Ganzzahl sein muss, gibt es kein Quadrat mit dieser Immobilie.
Wenn wir die Eckpunkte jedoch als die einzigen Nägel am Umfang betrachten, dann $ B =4 $. Wir wollen $ i =b $, also $ i =4 $.
Dann $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 =4 + \ frac {4} {2} - 1 =4 + 2 - 1 =5 $.
Die Fläche eines Platzes beträgt $ s^2 $, also $ s^2 =5 $, was bedeutet $ s =\ sqrt {5} $. Da $ S $ keine Ganzzahl ist, ist dies nicht möglich.
Endgültige Antwort:Die endgültige Antwort lautet $ \ boxed {nein} $