Antallet af negle på omkredsen er $ 4N-4 $, da der er 4 hjørner.
Det samlede antal negle på pladsen er $ n \ gange n =n^2 $.
Antallet af negle inde i pladsen er det samlede antal negle minus antallet af negle på omkredsen.
Således er antallet af negle inde i pladsen $ n^2 - (4n -4) =n^2 - 4n + 4 $.
Vi ønsker, at antallet af negle på omkredsen skal være lig med antallet af negle inde i pladsen, så vi har
$ 4n - 4 =n^2 - 4n + 4 $
$ n^2 - 8n + 8 =0 $
Brug den kvadratiske formel, vi har
$ n =\ frac {-(-8) \ pm \ sqrt {(-8)^2-4 (1) (8)}} {2 (1)} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {64 - 32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm \ sqrt {32}} {2} $
$ n =\ frac {8 \ pm 4 \ sqrt {2}} {2} $
$ n =4 \ pm 2 \ sqrt {2} $
Da $ N $ skal være et heltal, er der ingen heltalværdi for $ N $, der tilfredsstiller tilstanden.
Vi kan dog omformulere spørgsmålet med hensyn til Pick's sætning.
Lad $ i $ være antallet af indvendige negle og $ b $ være antallet af grænse negle.
Området med polygonen er givet af $ A =i + \ frac {B} {2} - 1 $.
Da vi har en firkant, lad sidelængden være $ s $, hvor $ s $ er et heltal. Så er området på pladsen $ S^2 $.
Vi får også, at $ i =B $.
Så $ s^2 =i + \ frac {i} {2} - 1 =\ frac {3i} {2} - 1 $.
Siden $ b =4s $ har vi $ i =4s $.
Således $ S^2 =\ frac {3 (4S)} {2} - 1 =6s - 1 $
$ s^2 - 6s + 1 =0 $
$ s =\ frac {6 \ pm \ sqrt {36 - 4}} {2} =\ frac {6 \ pm \ sqrt {32}} {2} =\ frac {6 \ pm 4 \ sqrt {2} {2} =3 \ pm 2 \ sqrt {2} $.
Da $ s $ skal være et heltal, er der ingen firkant med denne ejendom.
Men hvis vi betragter vertices som de eneste negle på omkredsen, så $ B =4 $. Vi ønsker $ i =b $, så $ i =4 $.
Derefter $ a =i + \ frac {b} {2} - 1 =4 + \ frac {4} {2} - 1 =4 + 2 - 1 =5 $.
Området på en firkant er $ s^2 $, så $ s^2 =5 $, hvilket betyder $ s =\ sqrt {5} $. Da $ s $ ikke er et heltal, er dette ikke muligt.
Endelig svar:Det endelige svar er $ \ bokset {ingen} $